命題２２

 

 

４つの直線が比例しているならば、それらの直線上において相似で、相似な位置に描かれた直線図形もまた比例している。そして、直線上に相似で、相似な位置に描かれた直線図形が比例しているならば、それらの直線もまた比例している。

 

4つの直線AB､CD､EF､GHを比例しているとする。つまりABはCDに対し同じようにEFはGHに対するとする。相似で相似な位置に描かれた図形KABとLCDをABとCD上に、相似で相似な位置に描かれた図形MFとNHをEFとGH上にあるとする。

 

KABがLCDに対し同じようにMFがNHに対することをいう。

 

ABとCDに対する第３の比Oと、EFとGHに対する第３の比Pをとる。proposition�Y．１１

 

それからABはCDに対し同じようにEFはGHに対するから、それゆえにCDはOに対し同じようにGHはPに対する。それゆえに、等間隔比で、ABはOに対し同じようにEFはPに対する。proposition�X．１１、proposition�X．２２

 

しかしABはOに対し同じようにKABはLCDに対し、そしてEFはPに対し同じようにMFはNHに対し、それゆえにKABはLCDに対しまた同じようにMFはNHに対する。proposition�Y．１９cor、proposition�X．１１

 

−

 

次に、KABがLCDに対し同じようにMFがNHに対するとする。

 

ABがCDに対し同じようにEFがGHに対することをいう。

 

EFがGHに対さず同じようにABがCDに対するならば、EFがQRに対しABがCDに対するとする。QR上に２つのMFとNHのどちらかと相似で相似な位置にある直線図形SRを描く。proposition�Y．１２、proposition�Y．１８

 

それからABはCDに対し同じようにEFはQRに対し、そしてABとCD上に相似で相似な位置にある図形KABとLCDがあり、EFとQR上に相似で相似な位置にある図形MFとSRがあるから、それゆえにKABはLCDに対し同じようにMFはSRに対する。

 

しかしまた、仮定より、KABはLCDに対し同じようにMFはNHに対し、それゆえにまたMFはSRに対し同じようにMFはNHに対する。proposition�X．１１

 

それゆえにMFは図形NHとSRのそれぞれに同じ比を持ち、それゆえにNHはSRと等しい。proposition�X．９

 

しかしそれはまた相似で相似な位置にあり、それゆえにGHはQRと等しい。

 

そして、ABはCDに対し同じようにEFはQRに対し、QRがGHと等しいとき、それゆえにABはCDに対し同じようにEFはGHに対する。

 

それゆえに、４つの直線が比例しているならば、それらの直線上において相似で、相似な位置に描かれた直線図形もまた比例している。そして、直線上に相似で、相似な位置に描かれた直線図形が比例しているならば、それらの直線もまた比例している。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終了

 

 

 

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